LINGKARAN DAN BOLA

Sejak sekolah dasar kita telah mengenal rumus keliling dan luas daerah lingkaran dengan jari-jari r yaitu

untuk keliling lingkaran

serta

untuk luas daerah lingkaran. 

Demikian juga dengan volume bola yang memiliki jari-jari r mempunyai volume

dan luas permukaan bola

Disini akan diuraikan sedikit mengenai pembuktian masing-masing rumus tersebut menggunakan kalkulus. 

Persamaan lingkaran dengan jari-jari r dinotasikan dengan
 

untuk

Kemudian perumusan untuk masing-maing ukuran tersebut adalah sebagai berikut

1.Keliling Lingkaran
   Perhatikan grafik dari persamaan lingkaran 

   Panjang kurva atau keliling lingkaran dari persamaan di atas adalah

2.Luas Daerah Lingkaran
   Perhatikan grafik dari persamaan lingkaran  

   Daerah yang diarsir merupakan luas seperempat daerah  lingkaran. Dengan demikian luas daerah lingkaran yang berjari-jari r adalah

   Maka 

      3.Volume Bola

   Perhatikan grafik dari persamaan lingkaran  

   Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-x, maka akan diperoleh setengah volume bola. Dengan demikian volume bola yang berjari-jari r adalah

    Maka

4.Luas Permukaan Bola 

         Perhatikan grafik dari persamaan lingkaran 

   Jika kurva diputar mengelilingi sumbu-x, maka akan diperoleh luas setengah  permukaan bola. Dengan 
  demikian luas permukaan bola yang berjari-jari r adalah 

Terbukti.....

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, E. J. dkk. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis (Edisi Kelima). Jilid 1. Diterjemahkan Oleh: Susila, I. N. dkk. Jakarta: Erlangga.

PRIMITIVE PYTHAGOREAN TRIPLE

Tentu saja menurut perhitungan sederhana solusi bilangan ketiga yang real dan memenuhi Teorema Pythagoras dapat ditentukan bila solusi dua bilangan sebelumnya diketahui dalam bilangan real pula.

Bila solusi satu bilangan yang memenuhi Teorema Pythagoras merupakan bilangan bulat positif, dua solusi lain yang merupakan bilangan bulat positif dapat ditentukan dengan mengalikan pola triple Pythagoras yang paling sederhana yang telah diketahui dengan sembarang bilangan bulat positif lainnya.

Namun bila solusi bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan yang relatif prima (primitive pythagorean triple) serta diketahui hanya satu bilangan, penentuan solusi dua bilangan lain bukanlah pekerjaan yang mudah. Tetapi, dengan penurunan pola yang telah diketahui dari bangsa Babilonia solusi bilangan-bilangan yang dikehendaki tidak mustahil untuk ditentukan.  

Secara aljabar Teorema Pythagoras dengan ukuran sisi segitiga x dan y  serta hipotenusa z, dapat dinotasikan dengan:

jika

maka

Dengan 

dan  

karena (-1, 0)  merupakan salah satu jawab persamaan maka jawaban lain dari persamaan adalah

Secara geometri, dapat ditunjukan pada gambar di bawah

Jika s1 dan s2 akar persamaan kuadrat maka

Dengan demikan 

Pasangan bilangan rasional yang memenuhi adalah

Dengan m bilangan rasional. Jika   

maka 

Dan pasangan bilangan bulat  yang memenuhi persamaan adalah

Perumusan Untuk Relatif Prima
 
Jika p = q + 1, dengan demikian p dan q relative prima maka

Subtitusikan 

Ke 

Serta

Dengan demikian 

merupakan solusi dari Triple Pythagoras yang Relatif Prima dinyatakan dari bilangan pertama dengan syarat  

merupakan sisi terpendek dan ganjil.

Jika  q = 1 dan p = 2r dengan

sehingga p dan q relatif prima maka 

Subtitusikan 

Ke

Serta

Dengan demikian 

Merupakan solusi dari Triple Pythagoras yang Relatif Prima dinyatakan dari bilangan pertama dan memiliki syarat  y = 4r dengan

merupakan sisi terpendek dan genap.

Contoh Soal

1. Tentukan sisi-sisi dari sebuah segitiga yang relatif prima, apabila sisi terpendeknya adalah 13 cm
2. Tentukan sisi-sisi dari sebuah segitiga yang relatif prima, apabila sisi terpendeknya adalah 40 cm

Jawab

1. Karena 13 merupakan bilangan genap maka

2. Karena 40 merupakan bilangan genap dan habis dibagi 4 maka

DAFTAR PUSTAKA

Budhi, W. S. (2004). Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. (Edisi Pertama). Jakarta: CV Richardo.

Eves, H. (1964). An Introdution To The History Of Mathematics (Revised Edition). Maine: Holt Rinehart and Winston Inc.

Willerding dan Hayward. (1972). Mathematics The Alphabeth Of Science.  (Second Edition). Maine: John Wiley and Son Inc.