LINGKARAN DAN BOLA

Sejak sekolah dasar kita telah mengenal rumus keliling dan luas daerah lingkaran dengan jari-jari r yaitu

untuk keliling lingkaran

serta

untuk luas daerah lingkaran. 

Demikian juga dengan volume bola yang memiliki jari-jari r mempunyai volume

dan luas permukaan bola

Disini akan diuraikan sedikit mengenai pembuktian masing-masing rumus tersebut menggunakan kalkulus. 

Persamaan lingkaran dengan jari-jari r dinotasikan dengan
 

untuk

Kemudian perumusan untuk masing-maing ukuran tersebut adalah sebagai berikut

1.Keliling Lingkaran
   Perhatikan grafik dari persamaan lingkaran 

   Panjang kurva atau keliling lingkaran dari persamaan di atas adalah

2.Luas Daerah Lingkaran
   Perhatikan grafik dari persamaan lingkaran  

   Daerah yang diarsir merupakan luas seperempat daerah  lingkaran. Dengan demikian luas daerah lingkaran yang berjari-jari r adalah

   Maka 

      3.Volume Bola

   Perhatikan grafik dari persamaan lingkaran  

   Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-x, maka akan diperoleh setengah volume bola. Dengan demikian volume bola yang berjari-jari r adalah

    Maka

4.Luas Permukaan Bola 

         Perhatikan grafik dari persamaan lingkaran 

   Jika kurva diputar mengelilingi sumbu-x, maka akan diperoleh luas setengah  permukaan bola. Dengan 
  demikian luas permukaan bola yang berjari-jari r adalah 

Terbukti.....

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, E. J. dkk. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis (Edisi Kelima). Jilid 1. Diterjemahkan Oleh: Susila, I. N. dkk. Jakarta: Erlangga.